学习数据结构和算法可以有效提高我们代码的执行效率，那么怎么衡量代码的执行效率呢，这就涉及到数据结构和算法课程中重要的基础内容——复杂度分析。复杂度分析又有时间复杂度分析和空间复杂度分析，通俗地讲，就是看执行算法消耗了多少时间和空间，今天就来学习下时间复杂度分析。
大O表示法
这里有段非常简单的代码，求 1,2,3…n 的累加和。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？
第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n个unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)个unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。按照这个分析思路，我们再来看这段代码。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？
第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 n2遍，所以需要 2n2* unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。
尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式。 $$ T(n) = O(f(n)) $$ 其中，T(n) 表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。
当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。
时间复杂度分析
如何分析一段代码的时间复杂度？有三个比较实用的方法。
1、只关注循环次数最多的一段代码
上文提到，大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
为了便于理解，还是拿前面的例子来说明。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。
2、加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
再来试着分析下面这段代码
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。
这里我要再强调一下，即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n2)，你应该能容易就分析出来。
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))。
3、乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
我刚讲了一个复杂度分析中的加法法则，这儿还有一个乘法法则。
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n))。
也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，举个例子。
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。
这三种复杂度的分析技巧并不用刻意去记忆，这个东西关键在于“熟练”。只要多看案例，多分析，就能做到“无招胜有招”。
几种常见时间复杂度实例分析
虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。总结一下
- 常量阶 O(1)
- 对数阶O(logn)
- 线性阶O(n)
- 线性对数阶O(nlogn)
- 平方阶O(n2)、立方阶O(n3)、、、k次方阶O(nk)
- 指数阶O(2n)
- 阶乘阶O(n!)
对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。
我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1.O(1)
首先你必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
2.O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。通过一个例子来说明一下。
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的： $$ 2^0 2^1 2^2、、、2^x=n $$ 所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。
现在，把代码稍微改下，再看看，这段代码的时间复杂度是多少？
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}
根据之前讲的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？
我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。如果你理解了我前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)
3.O(m+n)、O(m*n)
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩，先看代码！
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。